DISTRIBUCIONES PARA ANALISIS DE CONFIABILIDAD

 DISTRIBUCIONES DE VIDA

Usamos el término distribuciones de vida para describir la colección de distribuciones de probabilidad estadística que usamos en ingeniería de confiabilidad y análisis de datos de vida. Una distribución estadística se describe completamente por su pdf (o función de densidad de probabilidad). En las secciones anteriores, usamos la definición de pdf para mostrar cómo se pueden derivar todas las demás funciones más comúnmente utilizadas en ingeniería de confiabilidad y análisis de datos de vida; a saber, la función de confiabilidad, la función de tasa de fallas, la función de tiempo medio y la función de vida media, etc. Todos estos pueden determinarse directamente a partir de la pdf , o f ( t ) . Existen diferentes distribuciones, como la normal, exponencial, etc., y cada una de ellas tiene una forma predefinida de f ( t ) . Estas definiciones de distribución se pueden encontrar en muchas referencias. De hecho, se han dedicado textos enteros a definir familias de distribuciones estadísticas. Estas distribuciones fueron formuladas por estadísticos, matemáticos e ingenieros para modelar matemáticamente o representar cierto comportamiento. Por ejemplo, la distribución de Weibull fue formulada por Waloddi Weibull y, por lo tanto, lleva su nombre. Algunas distribuciones tienden a representar mejor los datos de vida y se denominan comúnmente distribuciones de vida . Una de las distribuciones más simples y más utilizadas (y a menudo erróneamente sobreutilizada debido a su simplicidad) es la distribución exponencial. El pdf de la distribución exponencial se define matemáticamente como:

F ( t ) = λ mi - λ t

En esta definición, tenga en cuenta que t es nuestra variable aleatoria, que representa el tiempo, y la letra griega λ (lambda) representa lo que comúnmente se conoce como el parámetro de la distribución. Dependiendo del valor de λ , f ( t ) se escalará de manera diferente. Para cualquier distribución, el parámetro o parámetros de la distribución se estiman a partir de los datos. Por ejemplo, la conocida distribución normal (o gaussiana) viene dada por:

F ( t ) = 1 σ 2 π √ mi - 1 2 ( t - μ σ ) 2

m , la media y σ , la desviación estándar, son sus parámetros. Ambos parámetros se estiman a partir de los datos (es decir, la media y la desviación estándar de los datos). Una vez estimados estos parámetros, nuestra función f ( t ) está totalmente definida y podemos obtener cualquier valor para f ( t ) dado cualquier valor de t .

Dada la representación matemática de una distribución, también podemos derivar todas las funciones necesarias para el análisis de datos de vida, que nuevamente dependerán solo del valor de t después de que el valor del parámetro o parámetros de distribución se haya estimado a partir de los datos. Por ejemplo, sabemos que la distribución exponencial pdf está dada por:

F ( t ) = λ mi - λ t

Por lo tanto, la función de confiabilidad exponencial se puede derivar como:

R ( t ) = = = 1 - ∫ t 0 λ mi - λ s re s 1 - [ 1 - ⋅ - λ ⋅ t ] mi - λ mi t

La función de tasa de falla exponencial es:

λ ( t ) = = = F ( t ) R ( t ) λ λ - λ t mi - λ t mi

El tiempo medio exponencial hasta el fallo (MTTF) viene dado por:

μ = = = ∫ ∞ 0 t ⋅ F ( t ) re t ∫ ∞ 0 t ⋅ λ ⋅ mi - λ t re t 1 λ

Esta misma metodología exacta se puede aplicar a cualquier distribución dado su pdf , con varios grados de dificultad dependiendo de la complejidad de f ( t ) .

Tipos de parámetros

Las distribuciones pueden tener cualquier número de parámetros. Tenga en cuenta que a medida que aumenta el número de parámetros, también aumenta la cantidad de datos necesarios para un ajuste adecuado. En general, las distribuciones de vida útil utilizadas para la confiabilidad y el análisis de datos de vida suelen estar limitadas a un máximo de tres parámetros. Estos tres parámetros se conocen generalmente como el escala , el forma y el parámetro de ubicación .

Parámetro de escala El parámetro de escala es el tipo de parámetro más común. Todas las distribuciones en esta referencia tienen un parámetro de escala. En el caso de distribuciones de un solo parámetro, el único parámetro es el parámetro de escala. El parámetro de escala define dónde se encuentra la mayor parte de la distribución o qué tan extendida está la distribución. En el caso de la distribución normal, el parámetro de escala es la desviación estándar.

Parámetro de forma El parámetro de forma, como su nombre lo indica, ayuda a definir la forma de una distribución. Algunas distribuciones, como la exponencial o la normal, no tienen un parámetro de forma ya que tienen una forma predefinida que no cambia. En el caso de la distribución normal, la forma es siempre la familiar forma de campana. El efecto del parámetro de forma en una distribución se refleja en las formas de la pdf , la función de confiabilidad y la función de tasa de falla.

Parámetro de ubicación El parámetro de ubicación se utiliza para cambiar una distribución en una dirección u otra. El parámetro de ubicación, generalmente indicado como C , define la ubicación del origen de una distribución y puede ser positivo o negativo. En términos de distribuciones de por vida, el parámetro de ubicación representa un cambio de tiempo.

Esto significa que la inclusión de un parámetro de ubicación para una distribución cuyo dominio normalmente es [ 0 , ∞ ] cambiará el dominio a [ γ , ∞ ] , donde C puede ser positivo o negativo. Esto puede tener algunos efectos profundos en términos de confiabilidad. Para un parámetro de ubicación positivo, esto indica que la confiabilidad para esa distribución en particular es siempre del 100 % hasta ese punto. En otras palabras, una falla no puede ocurrir antes de este tiempo. C . Muchos ingenieros se sienten incómodos al decir que una falla nunca ocurrirá antes de un tiempo determinado. Por otro lado, se puede argumentar que casi todas las distribuciones de vida tienen un parámetro de ubicación, aunque muchos de ellos pueden ser insignificantemente pequeños. De manera similar, muchas personas se sienten incómodas con el concepto de un parámetro de ubicación negativo, que establece que, en teoría, las fallas ocurren antes del tiempo cero. Siendo realistas, el cálculo de un parámetro de ubicación negativo es indicativo de fallas inactivas (fallas que ocurren antes de que un producto se use por primera vez) o de problemas con el proceso de fabricación, empaque o envío. Se prestará más atención al concepto del parámetro de ubicación en análisis posteriores de las distribuciones exponencial y de Weibull, que son las distribuciones de por vida que emplean con mayor frecuencia el parámetro de ubicación.

Distribuciones más utilizadas

Hay muchas distribuciones de vida diferentes que se pueden usar para modelar datos de confiabilidad. Leemis [22] presenta una buena visión general de muchas de estas distribuciones. En esta referencia, nos concentraremos en las distribuciones más utilizadas y aplicables para el análisis de datos de vida, como se describe en las siguientes secciones.

La Distribución Exponencial

La distribución exponencial se usa comúnmente para componentes o sistemas que exhiben una tasa de falla constante . Debido a su sencillez, ha sido ampliamente utilizado, incluso en los casos en que no se aplica. En su caso más general, la distribución exponencial de 2 parámetros se define por:

F ( t ) = λ mi - λ ( t - γ )

Donde λ es la tasa de falla constante en fallas por unidad de medida (por ejemplo, fallas por hora, por ciclo, etc.) y C es el parámetro de ubicación. Además, λ = 1 metro , donde metro es el tiempo medio entre fallos (o hasta el fallo).

Si el parámetro de ubicación, C , se supone que es cero, entonces la distribución se convierte en exponencial de 1 parámetro o:

F ( t ) = λ mi - λ t

Para una discusión detallada de esta distribución, vea La Distribución Exponencial .

La distribución de Weibull

La distribución de Weibull es una distribución de confiabilidad de propósito general que se utiliza para modelar la resistencia del material, los tiempos de falla de los componentes, equipos o sistemas electrónicos y mecánicos. de Weibull de 3 parámetros fdp se define por:

f ( t ) = β η ( t - γ η ) β - 1 mi - ( t - γ η ) β

donde b = parámetro de forma, la = parámetro de escala y C = parámetro de ubicación.

Si el parámetro de ubicación, C , se supone que es cero, entonces la distribución se convierte en Weibull de 2 parámetros o:

f ( t ) = β η ( t η ) β - 1 mi - ( t η ) β

Una forma adicional es la distribución de Weibull de 1 parámetro, que supone que el parámetro de ubicación, C es cero, y el parámetro de forma es una constante conocida, o b = constante = C , asi que:

F ( t ) = C η ( t η ) C - 1 mi - ( t η ) C

Para una discusión detallada de esta distribución, consulte La distribución de Weibull .

Análisis Bayesiano-Weibull

Otro enfoque es el método de análisis Weibull-Bayesiano, que supone que el analista tiene algún conocimiento previo sobre la distribución del parámetro de forma de la distribución Weibull (beta). Hay muchas aplicaciones prácticas para este modelo, particularmente cuando se trata de tamaños de muestra pequeños y/o cuando se dispone de algún conocimiento previo del parámetro de forma. Por ejemplo, cuando se realiza una prueba, a menudo hay una buena comprensión del comportamiento del modo de falla bajo investigación, principalmente a través de datos históricos o física de la falla.

Tenga en cuenta que esto no es lo mismo que el llamado "modelo WeiBayes", que en realidad es una distribución Weibull de un parámetro que asume un valor fijo (constante) para el parámetro de forma y resuelve el parámetro de escala. La función Bayesian-Weibull en Weibull++ es en realidad un verdadero modelo bayesiano y ofrece una alternativa al Weibull de un parámetro al incluir la variación y la incertidumbre que está presente en la estimación previa del parámetro de forma.

Este método de análisis y sus características se presentan en detalle en Análisis Bayesiano-Weibull .

La distribución normal

La distribución normal se usa comúnmente para análisis de confiabilidad general, tiempos de falla de componentes, equipos o sistemas electrónicos y mecánicos simples. El pdf de la distribución normal viene dado por:

F ( t ) = 1 σ 2 π - - √ mi - 1 2 ( t - μ σ ) 2

donde m es la media de los tiempos normales hasta el fallo y σ es la desviación estándar de los tiempos hasta el fallo.

La distribución normal y sus características se presentan en La distribución normal .

La distribución lognormal

La distribución logarítmica normal se usa comúnmente para el análisis de confiabilidad general, los ciclos hasta la falla en fatiga, las resistencias de los materiales y las variables de carga en el diseño probabilístico. Cuando los logaritmos naturales de los tiempos de falla se distribuyen normalmente, decimos que los datos siguen la distribución lognormal.

El pdf de la distribución lognormal está dado por:

F ( t ) = 1 t σ ′ 2 π - - √ mi - 1 2 ( t ′ - μ ′ σ ′ ) 2 F ( t ) ≥ 0 , t > 0 , σ ′ > 0 t ′ = ln ( t )

donde μ ' es la media de los logaritmos naturales de los tiempos hasta la falla y σ ′ es la desviación estándar de los logaritmos naturales de los tiempos hasta la falla.

Para una discusión detallada de esta distribución, vea La Distribución Lognormal .

Otras Distribuciones

Además de las distribuciones mencionadas anteriormente, que se usan con mayor frecuencia en el análisis de datos de vida, las siguientes distribuciones también tienen una variedad de aplicaciones y se pueden encontrar en muchas referencias estadísticas. Están incluidos en Weibull++, y también se tratan en esta referencia.

La distribución mixta de Weibull

La distribución mixta de Weibull se usa comúnmente para modelar el comportamiento de componentes o sistemas que exhiben múltiples modos de falla (poblaciones mixtas). Da una imagen global de la vida de un producto mezclando diferentes distribuciones de Weibull para diferentes etapas de la vida del producto y se define por:

F S ( t ) = ∑ S yo = 1 pags yo β yo η yo ( t η yo ) β yo - 1 mi - ( t η yo ) β yo

donde el valor de S es igual al número de subpoblaciones. Tenga en cuenta que esto da como resultado un total de ( 3 ⋅ S − 1 ) parámetros En otras palabras, cada población tiene una porción o peso de mezcla para el yo t h población, un β yo , o parámetro de forma para el yo t h parámetro de población y/o escala n yo por yo t h población. Tenga en cuenta que los parámetros se reducen a ( 3 ⋅ S − 1 ) , dado que también se puede utilizar la siguiente condición:

∑ s yo = 1 pags yo = 1

La distribución mixta de Weibull y sus características se presentan en La distribución mixta de Weibull .

La distribución gamma generalizada

En comparación con las otras distribuciones discutidas anteriormente, la distribución gamma generalizada no se usa con tanta frecuencia para modelar datos de vida; sin embargo, tiene la capacidad de imitar los atributos de otras distribuciones, como Weibull o lognormal, en función de los valores de los parámetros de la distribución. Esto ofrece un compromiso entre dos distribuciones de por vida. La función gamma generalizada es una distribución de tres parámetros con parámetros m , σ y λ . La pdf de la distribución viene dada por,

f ( x ) = ⎧ ⎩ ⎨ _ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ | ⎪ ⎪ ⎪ λ | σ ⋅ t ⋅ 1 Γ ( 1 λ 2 ) ⋅ ⋅ λ mi ln ( t ) - μ σ + ln ( 1 λ 2 ) - ⋅ λ mi ln ( t ) - μ σ λ 2 1 t ⋅ σ 2 π √ mi - 1 2 ( ln ( t ) - μ σ ) 2 si  λ ≠ 0 si  λ = 0

donde Γ ( x ) es la función gamma, definida por:

∫ ( X ) = ) ∞ 0 s X - 1 mi - s re s

Esta distribución se comporta como otras distribuciones en función de los valores de los parámetros. Por ejemplo, si l = 1 , entonces la distribución es idéntica a la distribución de Weibull. Si ambos l = 1 y σ = 1 , entonces la distribución es idéntica a la distribución exponencial, y para λ = 0 , es idéntica a la distribución lognormal. Si bien la distribución gamma generalizada no se usa a menudo para modelar datos de vida por sí misma, su capacidad para comportarse como otras distribuciones de vida más comúnmente usadas a veces se usa para determinar cuál de esas distribuciones de vida debe usarse para modelar un conjunto particular de datos.

La distribución gamma generalizada y sus características se presentan en La distribución gamma generalizada .

La distribución gamma

La distribución gamma es una distribución flexible que puede ofrecer un buen ajuste a algunos conjuntos de datos de vida. A veces llamada distribución de Erlang, la distribución gamma tiene aplicaciones en el análisis bayesiano como una distribución previa y también se usa comúnmente en la teoría de colas.

El pdf de la distribución gamma viene dado por:

F ( t ) = z = lnt mi z - _ _ t Γ ( k ) mi μ - X

donde:

μ = k = parámetro de escala parámetro de forma

donde 0 < t < ∞ , − ∞ < μ < ∞ y k > 0 .

La distribución gamma y sus características se presentan en La distribución gamma .

La Distribución Logística

La distribución logística tiene una forma muy similar a la distribución normal (es decir, en forma de campana), pero con colas más pesadas. Dado que la distribución logística tiene soluciones de forma cerrada para las funciones de confiabilidad, cdf y tasa de falla, a veces se prefiere a la distribución normal, donde estas funciones solo se pueden obtener numéricamente.

La pdf de la distribución logística viene dada por:

F ( t ) = z = σ > mi z σ ( 1 + mi z ) 2 t - μ σ 0

donde:

μ = σ = parámetro de ubicación (también denominado T ¯ ¯ ¯ ¯ ) parámetro de escala

La distribución logística y sus características se presentan en La Distribución Logística .

La distribución loglogística

Como puede deducirse del nombre, la distribución loglogística es similar a la distribución logística. Específicamente, los datos siguen una distribución loglogística cuando los logaritmos naturales de los tiempos de falla siguen una distribución logística. En consecuencia, las distribuciones loglogística y lognormal también comparten muchas similitudes.

La pdf de la distribución loglogística viene dada por:

F ( t ) = z = F ( t ) ≥ t ′ = mi z σ t ( 1 + mi z ) 2 t ′ - μ σ 0 , t > 0 , σ > 0 , l t ( norte )

donde:

μ = σ = parámetro de escala parámetro de forma

La distribución loglogística y sus características se presentan en La distribución loglogística .

La distribución de Gumbel

La distribución de Gumbel también se conoce como distribución de valor extremo más pequeño (SEV) o distribución de valor extremo más pequeño (Tipo 1). La distribución de Gumbel es adecuada para modelar la resistencia, que a veces está sesgada hacia la izquierda (p. ej., pocas unidades débiles fallan con un estrés bajo, mientras que el resto falla con un estrés más alto). La distribución de Gumbel también podría ser apropiada para modelar la vida útil de productos que experimentan un desgaste muy rápido después de alcanzar cierta edad.

El pdf de la distribución de Gumbel viene dado por:

F ( t ) = z = F ( t ) ≥ 1 σ mi z - mi z t - μ σ 0 , σ > _

donde:

μ = σ = ubicación parámetro de escala

La distribución Gumbel y sus características se presentan en The Gumbel/SEV Distribution .