Estimación de parámetros

El término estimación de parámetros se refiere al proceso de utilizar datos de muestra (en ingeniería de confiabilidad, generalmente datos de tiempos de falla o de éxito) para estimar los parámetros de la distribución seleccionada. Hay varios métodos de estimación de parámetros disponibles. Esta sección presenta una descripción general de los métodos disponibles utilizados en el análisis de datos de vida. Más específicamente, comenzamos con el método relativamente simple de trazado de probabilidad y continuamos con los métodos más sofisticados de regresión de rangos (o mínimos cuadrados), estimación de máxima verosimilitud y métodos de estimación bayesianos.

Trazado de probabilidad

El método menos intensivo desde el punto de vista matemático para la estimación de parámetros es el método de trazado de probabilidades. Como el término lo implica, el trazado de probabilidad implica un trazado físico de los datos en papel de trazado de probabilidad. Este método se implementa fácilmente a mano, dado que se puede obtener el papel trazador de probabilidades adecuado.

El método de trazado de probabilidad toma la CDF (funcion de distribucion acumulativa) de la distribución e intenta linealizarla empleando un papel especialmente construido. Las siguientes secciones ilustran los pasos de este método utilizando la distribución de Weibull de 2 parámetros como ejemplo. Esto incluye:

Linealizar la función de falta de fiabilidad
Construya el papel de trazado de probabilidad
Determinar las posiciones X e Y de los puntos de la trama

Y luego usar la trama para leer cualquier tiempo particular o valor de confiabilidad/falta de confiabilidad de interés.

Linealización de la función de falta de fiabilidad

En el caso del Weibull de 2 parámetros, la cdf (también la falta de fiabilidad $Q(t)\,\!$ ) está dada por:

F(t)=Q(t)=1-{e^{-\left({\tfrac {t}{\eta }}\right)^{\beta }}}\,\!

Esta función puede entonces ser linealizada (es decir, puesta en la forma común de $y=m'x+b\,\!$ formato) de la siguiente manera :

{\begin{aligned}Q(t)=&1-{e^{-\left({\tfrac {t}{\eta }}\right)^{\beta }}}\\\ln( 1-Q(t))=&\ln \left[{e^{-\left({\tfrac {t}{\eta }}\right)^{\beta }}}\right]\\\ln (1-Q(t))=&-\left({\tfrac {t}{\eta }}\right)^{\beta }\\\ln(-\ln(1-Q(t))) =&\beta \left(\ln \left({\frac {t}{\eta }}\right)\right)\\\ln \left(\ln \left({\frac {1}{1- Q(t)}}\right)\right)=&\beta \ln {t}-\beta \ln {\eta }\\\end{aligned}}\,\!

Luego, configurando:

y=\ln \left(\ln \left({\frac {1}{1-Q(t)}}\right)\right)\,\!

x=\ln \left(t\right)\,\!

la ecuación se puede reescribir como:

y=\beta x-\beta \ln \left(\eta \right)\,\!

que ahora es una ecuación lineal con una pendiente de:

{\begin{aligned}m=\beta \end{aligned}}\,\!

y un intercepto de:

b=-\beta \cdot \ln(\eta )\,\!

Construyendo el papel

La siguiente tarea es construir el papel trazador de probabilidad de Weibull con los ejes y y x apropiados. La transformación del eje x es simplemente logarítmica. El eje y es un poco más complejo y requiere una transformación recíproca logarítmica doble, o:

y=\ln \left(\ln \left({\frac {1}{1-Q(t)}})\right)\right)\,\!

dónde $Q(t)\,\!$ es la falta de confiabilidad.

Estos documentos han sido creados por diferentes proveedores y se denominan Papeles de trazado de probabilidad .

Para ilustrarlo, considere el siguiente gráfico de probabilidad en un tipo ligeramente diferente de documento de probabilidad de Weibull.

Diferente papel weibull.png

Este artículo está construido en base a las transformaciones y y x mencionadas, donde el eje y representa la falta de confiabilidad y el eje x representa el tiempo. Ambos valores deben conocerse para cada punto de tiempo hasta la falla que queramos trazar.

Entonces, dada la $y\,\!$ y $x\,\!$ valor para cada punto, los puntos se pueden poner fácilmente en la gráfica. Una vez colocados los puntos en el gráfico, se traza la mejor línea recta posible a través de estos puntos. Una vez dibujada la línea, se puede obtener su pendiente (algunos artículos de probabilidad incluyen un indicador de pendiente para simplificar este cálculo). Este es el parámetro $\beta \,\!$ , que es el valor de la pendiente. Para determinar el parámetro de escala, $\eta\,\!$ (también llamado el vida característica ), se lee el tiempo en el eje x correspondiente a $Q(t)=63,2\%\,\!$ .

Tenga en cuenta que en:

{\begin{aligned}Q(t=\eta )=&1-{{e}^{-{{\left({\tfrac {t}{\eta}}\right)}^{\beta }}}}\\=&1-{{e}^{-1}}\\=&0.632\\=&63.2\%\end{aligned}}\,\!

Por lo tanto, si ingresamos el y eje $Q(t)=63,2\%\,\!$ , el valor correspondiente de $t\,\!$ será igual a $\eta\,\!$ . Así, utilizando esta sencilla metodología, se pueden estimar los parámetros de la distribución de Weibull.

Determinación de la posición X e Y de los puntos del gráfico

Los puntos en el gráfico representan nuestros datos o, más específicamente, nuestros datos de tiempos de falla. Si, por ejemplo, probáramos cuatro unidades que fallaron a las 10, 20, 30 y 40 horas, entonces usaríamos estos tiempos como nuestro x o valores de tiempo.

Determinar las posiciones apropiadas de y , o los valores de falta de confiabilidad, es un poco más complejo. Para determinar el Al trazar posiciones, primero debemos determinar un valor que indique la falta de confiabilidad correspondiente a esa falla. En otras palabras, necesitamos obtener el porcentaje acumulado de fallas para cada tiempo hasta la falla. Por ejemplo, el porcentaje acumulado de fallas a las 10 horas puede ser del 25 %, a las 20 horas del 50 %, y así sucesivamente. Este es un método simple que ilustra la idea. El problema con este método simple es el hecho de que el punto del 100% no está definido en la mayoría de los gráficos de probabilidad; por lo tanto, se debe utilizar un enfoque alternativo y más sólido. El método más utilizado para determinar este valor es el método de obtención del rango medio para cada falla, como se analiza a continuación.

Rangos medianos

El método de rangos medianos se utiliza para obtener una estimación de la falta de confiabilidad de cada falla. El rango mediano es el valor que tiene la verdadera probabilidad de falla, $Q({{T}_{j}})\,\!$ , debería tener en el ${{j}^{th}}\,\!$ fracaso de una muestra de $N\,\!$ unidades al nivel de confianza del 50%.

La clasificación se puede encontrar para cualquier punto porcentual, $P\,\!$ , mayor que cero y menor que uno, resolviendo la ecuación binomial acumulativa para $Z\,\!$ . Esto representa el rango, o estimación de falta de confiabilidad, para el ${{j}^{th}}\,\!$ fallo en la siguiente ecuación para el binomio acumulativo:

P={\underset {k=j}{\overset {N}{\mathop {\sum } }}}\,\left({\begin{matrix}N\\k\\\end{matriz }}\right){{Z}^{k}}{{\left(1-Z\right)}^{Nk}}\,\!

dónde $N\,\!$ es el tamaño de la muestra y $j\,\!$ el número de pedido.

El rango mediano se obtiene resolviendo esta ecuación para $Z\,\!$ en $P=0,50\,\!$ :

0.50={\underset {k=j}{\overset {N}{\mathop {\sum } }}}\,\left({\begin{matrix}N\\k\\\end{matrix }}\right){{Z}^{k}}{{\left(1-Z\right)}^{Nk}}\,\!

Por ejemplo, si $N=4\,\!$ y tenemos cuatro fracasos, resolveríamos la ecuación de rango mediano para el valor de $Z\,\!$ cuatro veces; una vez por cada falla con $j=1,2,3{\text{ y }}4\,\!$ . Este resultado puede usarse luego como estimación de la falta de confiabilidad para cada falla o como estimación de la falta de confiabilidad. $y\,\!$ posición de trazado. (Ver también La distribución de Weibull para ver un ejemplo paso a paso de este método.) La solución de la ecuación binomial acumulativa para $Z\,\!$ requiere el uso de métodos numéricos.

Enfoque de distribuciones Beta y F

Un método más directo y sencillo para estimar los rangos medianos es aplicar dos transformaciones a la ecuación binomial acumulativa, primero a la distribución beta y luego a la distribución F, lo que da como resultado [12, 13] :

{\begin{array}{*{35}{l}}MR&=&{\tfrac {1}{1+{\tfrac {N-j+1}{j}}{{F}_{ 0.50;m;n}}}}\\m&=&2(N-j+1)\\n&=&2j\\\end{array}}\,\!

dónde ${{F}_{0.50;m;n}}\,\!$ denota el $F\,\!$ distribución en el punto 0,50, con $m\,\!$ y $n\,\!$ grados de libertad, por falla $j\,\!$ fuera de $N\,\!$ unidades.

Aproximación de Benard para rangos medianos

Otra aproximación rápida y menos precisa de los rangos medianos también viene dada por:

MR={\frac {j-0.3}{N+0.4}}\,\!

Esta aproximación de los rangos medianos también se conoce como aproximación de Benard .

Kaplan-Meier

El estimador de Kaplan-Meier (también conocido como estimador del límite del producto ) se utiliza como alternativa al método de rangos medianos para calcular las estimaciones de la falta de confiabilidad con fines de trazado de probabilidad. La ecuación del estimador viene dada por:

{\widehat {F}}({{t}_{i}})=1-{\underset {j=1}{\overset {i}{\mathop {\prod } }}}\, {\frac {{{n}_{j}}-{{r}_{j}}}{{n}_{j}}},{\text{ }}i=1,...,m \,\!

dónde:

{\begin{aligned}m=&{\text{número total de puntos de datos}}\\n=&{\text{el número total de unidades}}\\{n_{i}}=&n- \sum _{j=0}^{i-1}{s_{j}}-\sum _{j=0}^{i-1}{r_{j}},{\text{i = 1, ...,metro }}\\{r_{j}}=&{\text{ número de fallas en el }}{j^{th}}{\text{ grupo de datos, y}}\\{s_{j}}=& {\text{número de unidades supervivientes en el }}{j^{th}}{\text{ grupo de datos}}\\\end{aligned}}\,\!

Ejemplo de trazado de probabilidad

Esta misma metodología se puede aplicar a otras distribuciones con CDF que se pueden linealizar. Existen diferentes artículos de probabilidad para cada distribución, porque diferentes distribuciones tienen diferentes CDF . Las herramientas de software de ReliaSoft crean automáticamente estos gráficos para usted. Las escalas especiales en estos gráficos le permiten derivar las estimaciones de los parámetros directamente de los gráficos, de manera similar a la forma $\beta \,\!$ y $\eta\,\!$ se obtuvieron del gráfico de probabilidad de Weibull. El siguiente ejemplo demuestra el método nuevamente, esta vez usando la distribución exponencial de 1 parámetro.

Supongamos que se prueba la confiabilidad de seis unidades idénticas en la misma aplicación y operación. niveles de estrés. Todas estas unidades fallan durante la prueba después de operar durante los siguientes tiempos (en horas): 96, 257, 498, 763, 1051 y 1744.

Los pasos para utilizar el método de trazado de probabilidad para determinar los parámetros del exponencial pdf que representa el los datos son los siguientes:

Clasifique los tiempos de falla en orden ascendente como se muestra a continuación.

{\begin{matrix}{\text{Fallo}}&{\text{Número de pedido fallido}}\\{\text{Tiempo (horas)}}&{\text{fuera de un tamaño de muestra de 6}}\\{\text{96}}&{\text{1}}\\{\text{257}}&{\text{2}}\\{\text{498}}&{\text {3}}\\{\texto{76 3}}&{\text{4}}\\{\text{1,051}}&{\text{5}}\\{\text{1,744}}&{\text{6}}\\\end{ matriz}}\,\!

Obtenga su rango medio trazando posiciones. Las posiciones de clasificación media se utilizan en lugar de otros métodos de clasificación porque las clasificaciones medianas están en un nivel de confianza específico (50%).

Los tiempos hasta el fracaso, con sus correspondientes rangos medios, se muestran a continuación:

{\begin{matrix}{\text{Fallo}}&{\text{Mediana}}\\{\text{Tiempo (horas)}}&{\text{Rango, }}\%\\{\text{96}}&{\text{10}}{\text{.91}}\\{\text{257}}&{\text{26}}{\text{ .44}}\\{\text{498}}&{\text{42}}{\text{.14}}\\{\text{7 63}}&{\text{57}}{\text{.86}}\\{\text{1,051}}&{\text{73}}{\text{.56}}\\{\text{ 1,744}}&{\text{89}}{\text{.10}}\\\end{matrix}}\,\!

En un papel de probabilidad exponencial, traza los tiempos en el eje x y sus correspondientes valor de clasificación en el eje y. La siguiente figura muestra un ejemplo de un artículo de probabilidad exponencial. El El papel es simplemente un papel log-lineal.

ALTA4.1.png

Traza la mejor línea recta posible que pase por el $t=0\,\!$ y $(t)=100\%\,\!$ punto y a través de los puntos trazados (como se muestra en el gráfico siguiente).

Al $Q(t)=63,2\%\,\!$ o $R(t)=36,8\%\,\!$ punto de ordenadas, dibuja un línea recta horizontal hasta que esta línea se cruce con la línea recta ajustada. Dibuja una línea vertical a través de esta intersección hasta que cruce la abscisa. El valor en la intersección de las abscisas es la estimación de la media. Para este caso, ${\widehat {\mu }}=833\,\!$ horas lo que significa que $\lambda ={\tfrac {1}{\mu }}=0.0012\,\!$ (Esto siempre es del 63,2% porque $(T)=1-{{e}^{-{\tfrac {\mu }{\mu }}}}=1-{{e}^{-1}}=0,632=63,2\%) \,\!$ .

ALTA4.2.png

Ahora cualquier valor de confiabilidad para cualquier tiempo de misión. $t\,\!$ se puede obtener. Por ejemplo, el La confiabilidad para una misión de 15 horas, o en cualquier otro momento, ahora se puede obtener a partir de la trama o analíticamente.

Para obtener el valor del gráfico, dibuje una línea vertical desde la abscisa, en $t=15\,\!$ horas, hasta la línea ajustada. Dibuja una línea horizontal desde esta intersección hasta la ordenada y lee $R(t)\,\!$ . En este caso, $R(t=15)=98,15\%\,\!$ . Esto también se puede obtener analíticamente, a partir de la función de confiabilidad exponencial.

Comentarios sobre el método de trazado de probabilidad

Además del inconveniente más obvio del trazado de probabilidades, que es la cantidad de esfuerzo requerido, el trazado de probabilidades manual no siempre es consistente en los resultados. Dos personas que trazan una línea recta a través de un conjunto de puntos no siempre trazarán esta línea de la misma manera y, por lo tanto, obtendrán resultados ligeramente diferentes. Este método se utilizó principalmente antes del uso generalizado de computadoras que podían realizar fácilmente los cálculos para métodos de estimación de parámetros más complicados, como los métodos de mínimos cuadrados y máxima verosimilitud.

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viernes, 18 de abril de 2025

Primer ejemplo de trazado de confiabilidad. (fuente: Reliawiki.org) # Confiabilidad