CIRCULO DE MOHR

Circulo de Mohr de tensiones

[Concepto] [07/07/2006 ]

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El círculo de Mohr de tensiones es una aplicación del círculo de Mohr al cálculo de las tensiones en planos con distintas orientaciones alrededor de un punto de una pieza sometido a un estado tensional biaxial.

Si se dibuja un elemento diferencial alrededor del punto analizado, con dos planos orientados según un sistema de ejes plano x-y y el tercero inclinado un ángulo genérico j, estableciendo el equilibrio de fuerzas en las direcciones de s y t en dicho elemento se tiene:

(1)

Dividiendo las dos ecuaciones anteriores por la longitud AB y teniendo en cuenta que OA=AB·cos(j), OB=AB·sen(j) se llega a:

(2)

expresión que también puede escribirse como:

(3)

Derivando la primera ecuación (3) respecto a j e igualando a cero se obtienen los valores de j (inclinaciones del plano AB) para los que la tensión normal es máxima o mínima:

(4)

Ecuación que tiene dos soluciones de j. Sustituyendo cada una de las soluciones en la segunda de las ecuaciones (3) se comprueba que la tensión cortante es nula para dichos planos y sustituyendo en la primera de las ecuaciones (3) se obtienen las tensiones normales máxima y mínima (tensiones principales):

(5)

La expresión de las tensiones en cualquier plano con inclinación j respecto a los planos principales, en función de las tensiones principales, se deduce tomando las direcciones x,y orientadas según los planos principales y sustituyendo en (3):

(6)

El círculo de Mohr de tensiones es un círculo dibujado en el plano s-t en el que cada punto de su circunferencia representa las tensiones normales y cortantes en un plano AB con una inclinación cualquiera. Así los puntos X e Y de la figura corresponden a los planos perpendiculares a los ejes x e y. Como se observa se sitúan en puntos opuestos del círculo, a 180º. Los puntos de corte de la circunferencia con el eje t =0 corresponden a los planos principales y de la figura se deduce que el valor de s en dichos puntos es el valor de las tensiones principales (s₁,s₂) obtenido mediante las ecuaciones (5). Estos planos están igualmente separados un ángulo de 180º en el círculo, indicando que el ángulo entre los planos principales es de 90º en la realidad. En general, dos planos entre los cuales hay un ángulo j en la realidad están separados un ángulo 2j en el círculo de Mohr. En la figura se observa también que el ángulo j entre los planos principales y los planos x,y, obtenido mediante la expresión (4) queda representado por 2j en el círculo de Mohr.

El círculo de Mohr se utiliza como recurso gráfico para el análisis de las tensiones en estados tensionales biaxiales.

Para dibujar correctamente el círculo de Mohr deben tenerse en cuenta los siguientes detalles:

• El sentido de giro del ángulo j en el círculo se corresponde con el sentido de giro del plano AB en la realidad.

• El signo de las tensiones tangenciales (t) se toma como positivo si giran en sentido de las agujas del reloj alrededor del elemento diferencial y negativo en caso contrario.

• El ángulo entre dos radios del círculo equivale al doble del ángulo entre los planos reales correspondientes

Teorias de falla

Materiales dúctiles [editar]

Comparación de las superficies de fluencia para los criterios de Von Mises y Tresca en usando las tensiones principales como coordenadas.

Se considera materiales dúctiles a aquellos que pueden deformarse considerablemente antes de llegar a rotura. Para este tipo de materiales existen dos teorías, la teoría de la máxima tensión cortante y la teoría de la máxima energía de distorsión.

Teoría de la tensión tangencial máxima (Criterio de Tresca) [editar]

Esta teoría fue propuesta por Henri Tresca, bajo este criterio una pieza resistente o elemento estructural falla cuando en alguno de sus puntos sucede que:

Siendo:

, la tensión de límite elástico del material de la pieza.

, la tensión cortante máxima del punto considerado.

, la mayor y la menor tensión principal en el punto considerado.

Teoría de la máxima energía de distorsión (Criterio de Von Mises)[editar]

Este criterio puede considerarse un refinamiento del criterio de Tresca. El criterio de la máxima energía de distorsión fue formulado primeramente por Maxwell en 1865^[1] y más tarde también mencionado por Huber^[2] (1904). Sin embargo, fue con el trabajo de Richard Edler von Mises1913) que el criterio alcanzó notriedad, a veces se conoce a esta teoría de fallo elástico basada en la tensión de Von Mises como teoría de Maxwell-Huber-Hencky-von Mises. La expresión popuesta por Von Mises y H. Hencky, de acuerdo con este criterio una pieza resistente o elemento estructural falla cuando en alguno de sus puntos la energía de distorsión por unidad de volumen rebasa un cierto umbral: (

En términos de tensiones este criterio puede escribirse sencillamente en términos de la llamada tensión de von Mises como:

Donde:

, son las tensiones principales de en el punto considerado.

Materiales frágiles [editar]

Se dice que un material es frágil cuando es muy poca la deformación que presentan antes de romperse. Para este tipo de materiales existen dos teorías, la teoría del máximo esfuerzo normal y el criterio de falla de Mohr.

Teoría del máximo esfuerzo normal [editar]

Propuesta por Rankine, bajo este criterio un material frágil fallará si en alguno de sus puntos sucede que:

Criterio de falla de Mohr [editar]

En laboratorio una muestra del material se conforma como una viga en rotación a la cual se aplica un momento flector puro, de forma que el esfuerzo varía de tensión máxima a compresión máxima.